توان (علوم)
توان عملگری در ریاضی و علوم است که به صورت an نوشته می‌شود، به a
پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح
باشد، پایه n بار در خود ضرب می‌شود:
.
همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:
توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین
می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.
توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7.
توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها
یک واحد است.
توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود.
توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد،
زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.
عمل توان با نماهای صحیح تنها نیازمند جبر پایه‌است.
ساده ترین نوع توان، با نماهای صحیح مثبت است. نما بیانگر این است
که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال 35 = 3 × 3 × 3 × 3
× 3 = 243. در اینجا 3 پایه و 5 نما است، و 243 باب است با 3 به توان
5. عدد 3، 5 بار در عمل ضرب نشان داده می‌شود چون نما برابر 5 است.
به طور قراردادی، a2 = a×a را مربع، a3 = a×a×a را مکعب می‌نامیم. 32
«مربع سه» و 33 «مکعب سه» خوانده می‌شوند.
اولین توان را می‌توانیم به صورت a0 = 1 و سایر توان‌ها را به صورت
an+1 = a·an بنویسیم.
35 را می‌توان به صورت 1 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 هم نوشت، عدد یک را
می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در همل ضری عدد
یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با
این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:
a1 = a
a0 = 1
(برخی نویسندگان 00 را تعریف نشده می‌خوانند.) برای مثال: a0= a2-2= a2/a2 = 1 (در صورتی که a ≠ 0)
اگر عددی غیرمنفی را به توان -1 برسانیم، حاصل برابر معکوس آن عدد است.
a−1 = 1/a
در نتیجه:
a−n = (an)−1 = 1/an
اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و
تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم
نشان داد. یعنی 3−5 = 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 1/243 = 1/35.
مهم‌ترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:
که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:
از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال 2+3 = 5 =
3+2 و 2×3 = 6 = 3×2) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 23 = 8
است در حالی که 32 = 9. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی
هستند (برای مثال (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) و (2×3)×4 = 24 =
2×(3×4)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 23 به توان چهار برابر
است با 84 یا 4096، در حالی که 2 به توان 34 برابر است با 281 یا
2,417,851,639,229,258,349,412,352.
در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای به
دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن
اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ برای
مثال 299792458 (سرعت نور با یکای مترمکعب بر ثانیه) را می‌توان به
صورت 2.99792458 × 108 نوشت و به صورت تخمینی به شکل 2.998
× 108. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و
کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان 10 استوار است. برای
مثال پیشوند کیلو یعنی 103 = 1000، پس یک کیلومتر برابر 1000 متر است.
توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند زیر در کامپیوتر
مقادیر 2n را می‌توان برای یک متغیر n بیتی درنظر گرفت.
توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.
اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است: 0n = 0.
اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت 0−n تعریف نشده‌است، زیرا
تقسیم بر صفر وجود ندارد.
اگر توان صفر عدد یک باشد، حاصل عبارت برابر یک است: 00 = 1.
(بعضی از نویسندگان می‌گویند که 00 تعریف نشده‌است.)
توان منفی یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.
اگر نمای منفی یک فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: (−1)2n+1 = −1
اگر نمای منفی یک زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: (−1)2n+2 = 1
توان‌های i در دنباله‌های با دوره 4 کاربرد دارند.
i4n+1 = i i4n+2 = −1 i4n+3 = −i i4n+4 = 1
عدد e حد دنباله‌ای با توان صحیح است:
.
و تقریباً داریم:
.
یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:
x می‌تواند عددی مانند صفر، کسر، عدد مرکب، یا یک ماتریس مربع باشد.
می‌توان به چند صورت به دست آورد:
از بالا به پائین: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.
در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر عدد
حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:
و ریشه nام a نامیده می‌شود:
برای مثال: 81/3 = 2. حالا می‌توانیم توان m / n را به صورت زیر تعریف کنیم:
برای مثال: 82/3 = 4.
توان‌های صحیح اعداد مرکب به صورت بازگستی تعریف می‌شود:
z0 = 1 zn+1 = z·zn z−n = 1/zn (برای z ≠ 0)
توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:
و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:
az = ebz
اگر:
a = eb
توان‌های مبهم یک تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس برابر است با:
مانند:
عدد حقیقی مثبت π وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله ez = 1 را به صورت z = 2πi·n حل نمود.
هر عدد مرکب به شکل a + ib را می‌توان به این صورت نوشت:
برای یک مقدار حقیقی مثبت r و یک کمان می‌توانیم از فرمول اویلر برای استفاده کنیم:
حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای e می‌نویسیم: eid = cosd + isind. در نتیجه داریم:
حال اگر از استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:
این مقدار اصلی ii اما می‌توانیم برای هر عدد صحیح n آن را به صورت بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:
جدول kn، k در سمت چپ و n در بالای جدول است.
n | ||||||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
k^ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1,024 | 2 | |
3 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2,187 | 6,561 | 19,683 | 59,049 | 3 | |
4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 1,024 | 4,096 | 16,384 | 65,536 | 262,144 | 1,048,576 | 4 | |
5 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3,125 | 15,625 | 78,125 | 390,625 | 1,953,125 | 9,765,625 | 5 | |
6 | 6 | 36 | 216 | 1,296 | 7,776 | 46,656 | 279,936 | 1,679,616 | 10,077,696 | 60,466,176 | 6 | |
7 | 7 | 49 | 343 | 2,401 | 16,807 | 117,649 | 823,543 | 5,764,801 | 40,353,607 | 282,475,249 | 7 | |
8 | 8 | 64 | 512 | 4,096 | 32,768 | 262,144 | 2,097,152 | 16,777,216 | 134,217,728 | 1,073,741,824 | 8 | |
9 | 9 | 81 | 729 | 6,561 | 59,049 | 531,441 | 4,782,969 | 43,046,721 | 387,420,489 | 3,486,784,401 | 9 | |
10 | 10 | 100 | 1,000 | 10,000 | 100,000 | 1,000,000 | 10,000,000 | 100,000,000 | 1,000,000,000 | 10,000,000,000 | 10 | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
n | ||||||||||||
خوب بود رامین فقط رنگ را عوض کن.
عوض شد